Definition
Betrachten wir reellwertige Funktionen, vereinfachen sich die Ausdrücke wie folgt.
Lemma 1.1.26. Sei T-periodisch. Dann gilt und
\begin{aligned} a_0 &= 2 \text{Re}(c_0) = 2c_0 \quad \text{und} \\ a_k &= 2 \text{Re}(c_k) \\ b_k &= -2 \text{Im}(c_k) \end{aligned} }$$ für jedes ${k \in \mathbb{N}}$. # Beweis Nach Definition gilt $${ c_{-k} = \frac{1}{T} \int_0^T f(t)e^{ik\omega t} dt = \overline{\frac{1}{T} \int_0^T f(t)e^{-ik\omega t} dt} = \overline{\frac{1}{T} \int_0^T \overline{f(t)e^{-ik\omega t}} dt} = \overline{c_k} \quad \text{für alle } k \in \mathbb{Z}. }$$ Im zweiten Schritt haben wir benutzt, dass ${\overline{e^{ix}} = e^{-ix}}$ und dass ${\overline{f(t)} = f(t)}$ weil ${f}$ reellwertig ist. Dies zeigt (1.12). Aus (1.12) folgt insbesondere dass ${c_0 = \overline{c_0}}$, also ist ${c_0 \in \mathbb{R}}$. Mit (1.9) folgt damit ${a_0 = 2c_0 = 2\text{Re}(c_0)}$, wie behauptet. Für ${k \in \mathbb{N}}$ folgt außerdem (wieder mit (1.9) und (1.12)) ${a_k = c_k + c_{-k} = c_k + \overline{c_k} = 2\text{Re}(c_k)}$ ${b_k = i(c_k - c_{-k}) = i(c_k - \overline{c_k}) = -2\text{Im}(c_k)}$. ☐[^1] # Beispiele # Übungsaufgaben ```dataview LIST FROM [[]] WHERE contains(mytags, [[aufgaben]]) SORT file.name ASC ``` # Referenz ## Verknüpfung - ## Quellen [^1]: [[tum_analysis3_EI_KoenigUlbrich-WS2526-skript.pdf#page=12|page=12]]