202510171810 - Amplitudenmodulation von Fourierreihen 2

Definition

Seien $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ T-periodisch. Sei $\{c_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$ das Fourierspektrum von $f$ $\{d_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$ das Fourierspektrum von $g$. Seien $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$ und $a\in \mathbb{R}$ beliebig. Dann gilt

(Verschiebung im Spektralbereich=Amplitudenmodulation) Sei $n\in \mathbb{Z}$ beliebig. Das Fourierspektrum der Funktion $t\to e^{in\omega t}f(t)$ ist $\{c_{k-n}{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$.[^1]

Beweis

Diese Eigenschaft folgt aus

\frac{1}{T} \int_0^T (e^{in\omega t}f(t)) e^{-ik\omega t} dt = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) e^{-i(k-n)\omega t} dt = c_{k-n} \quad \text{für alle } k \in \mathbb{Z}. }$$ # Beispiele # Übungsaufgaben ```dataview LIST FROM [[]] WHERE contains(mytags, [[aufgaben]]) SORT file.name ASC ``` # Referenz ## Verknüpfung - ## Quellen [^1]: [[tum_analysis3_EI_KoenigUlbrich-WS2526-skript.pdf#page=15|page=15]]