202510171810 - Zeitumkehr von Fourierreihen

Definition

Seien $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ T-periodisch. Sei $\{c_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$ das Fourierspektrum von $f$ $\{d_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$ das Fourierspektrum von $g$. Seien $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$ und $a\in \mathbb{R}$ beliebig. Dann gilt

(Zeitumkehr) Das Fourierspektrum der Funktion $t\to f(-t)$ ist $\{c_{-k}{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$.[^1]

Beweis

Analog folgt aus Komplexkonjugation von Fourierreihen mittels der Variablensubstitution $\tau =-t$: wir haben

\begin{aligned} \frac{1}{T} \int_0^T f(-t)e^{-ik\omega t} dt &= -\frac{1}{T}\int_0^{-T} f(\tau)e^{ik\omega\tau} d\tau = \frac{1}{T}\int_{-T}^0 f(\tau)e^{ik\omega\tau} d\tau \\ &= \frac{1}{T} \int_0^T f(\tau)e^{ik\omega\tau} d\tau = c_{-k} \quad \text{für alle } k \in \mathbb{Z}, \end{aligned} }$$ # Beispiele # Übungsaufgaben ```dataview LIST FROM [[]] WHERE contains(mytags, [[aufgaben]]) SORT file.name ASC ``` # Referenz ## Verknüpfung - [[202510171710 - Rechenregeln für das Fourierspektrum|Eigenschaften von Fourierreihen]] ## Quellen [^1]: [[tum_analysis3_EI_KoenigUlbrich-WS2526-skript.pdf#page=14|page=14]]