202510172110 - Beweis für Fourierspektrum der Ableitung

Beweis

Der 0-te Fourierkoeffizient der Ableitung $f^{\prime }$ ist$\begin{array}{rlrl}\frac{1}{T}{\int }_0^T{f}^{\prime }(t)dt& =\frac{1}{T}[f(T^{-})-f(0^{+})]& & \text{Hauptsatz der Integralrechnung}\\ & =\frac{1}{T}[f(0^{-})-f(0^{+})]& & \text{Periodizita¨t }f\\ & =0& & \text{Stetigkeit von }f.\end{array}$Für $k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ erhalten wir mit partieller Integration$\begin{array}{rlrl}\frac{1}{T}{\int }_0^T{f}^{\prime }(t)e^{-ik\omega t}dt& =\frac{1}{T}[f(t)e^{-ik\omega t}{]}_{t=0^{+}}^{T^{-}}+ik\omega \frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-ik\omega t}dt& & \\ & =0+ik\omega \frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-ik\omega t}dt& & \text{weil }f\text{ stetig und T-periodisch ist}\\ & =ik\omega c_k.& & \end{array}$ ¹

Beispiele

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
• Stetigkeit

Quellen

Footnotes

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