202510172310 - Beweis für Fourierspektrum der Ableitung stückweise stetig differenzierbarer Funktionen mit Sprungstellen

Beweis

Wir integrieren über Teilintervalle $(t_j,t_{j+1})$, d.h. (mit der Konvention $t_{N+1}=t_1+T$) $d_k=\frac{1}{T}{\int }_0^T{f}^{\prime }(t)e^{-ik\omega t}dt={\sum }_{j=1}^N\frac{1}{T}{\int }_{t_j}^{t_{j+1}}{f}^{\prime }(t)e^{-ik\omega t}dt,(1.17)$ siehe Bemerkung 1.1.11. Jeden Summanden in diesem Ausdruck behandeln wir durch partielle Integration: wir haben $\frac{1}{T}{\int }_{t_j}^{t_{j+1}}{f}^{\prime }(t)e^{-ik\omega t}dt=\frac{1}{T}{\left[f(t)e^{-ik\omega t}\right]}_{t=t_j^{+}}^{t_{j+1}^{-}}+\frac{ik\omega }{T}{\int }_{t_j}^{t_{j+1}}f(t)e^{-ik\omega t}dt$ für jedes $j=1,\dots ,N$. Einsetzen in (1.17) liefert

\begin{aligned} d_k &= \frac{1}{T} \sum_{j=1}^N \left[ f(t)e^{-ik\omega t} \right]_{t=t_j^+}^{t_{j+1}^-} + \frac{ik\omega}{T} \sum_{j=1}^N \int_{t_j}^{t_{j+1}} f(t)e^{-ik\omega t}dt \\ &= \frac{1}{T} \sum_{j=1}^N \left[ f(t)e^{-ik\omega t} \right]_{t=t_j^+}^{t_{j+1}^-} + ik\omega c_k \end{aligned} }$$ für jedes ${k \in \mathbb{Z}}$. Die Behauptung folgt aus $${ \begin{aligned} \frac{1}{T} \sum_{j=1}^N \left[ f(t)e^{-ik\omega t} \right]_{t=t_j^+}^{t_{j+1}^-} &= \frac{1}{T} \sum_{j=1}^N \left( f(t_{j+1}^-)e^{-ik\omega t_{j+1}} - f(t_j^+)e^{-ik\omega t_j} \right) \\ &= \frac{1}{T} \left( f(t_{N+1}^-)e^{-ik\omega t_{N+1}} - f(t_1^-)e^{-ik\omega t_1} \right) + \frac{1}{T}\sum_{j=1}^N \left(f(t_j^-) - f(t_j^+)\right)e^{-ik\omega t_j} \\ &= -\frac{1}{T} \sum_{j=1}^N \Delta_j e^{-ik\omega t_j}. \end{aligned} }$$ Hier haben wir ${t_{N+1} = t_1 + T}$ und die Periodizität von ${f}$ verwendet.[^1] # Beispiele # Übungsaufgaben ```dataview LIST FROM [[]] WHERE contains(mytags, [[aufgaben]]) SORT file.name ASC ``` # Referenz ## Verknüpfung - ## Quellen [^1]: [[tum_analysis3_EI_KoenigUlbrich-WS2526-skript.pdf#page=18|page=18]]