202510201210 - Beispiel zur Faltung mit konstanten und harmonischen Funktionen 2

Beispiel

Sei $1$ die konstante Funktion $1(t)=1$ für alle $t\in \mathbb{R}$. Dann ist:

$$(1\ast f)(t)=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}1\cdot f(s)ds=c_0\text{fu¨r jedes }t\in \mathbb{R}$$

der 0-te Fourierkoeffizient von $f$. Allgemeiner sei für $k\in \mathbb{Z}$ die Funktion $e_k:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ definiert durch $e_k(t)=e^{ik\omega t}$ für alle $t\in \mathbb{R}$, wobei $\omega =2\pi /T$. Dann gilt:

$$(e_k\ast f)(t)=\frac{1}{T}{\int }_0^T{e}^{ik\omega (t-s)}f(s)ds=\frac{e^{ik\omega t}}{T}{\int }_0^T{e}^{-ik\omega s}f(s)ds=c_k\cdot e^{ik\omega t}\text{fu¨r alle }t\in \mathbb{R}$$

Die Faltung einer Funktion $f$ mit der Funktion $e_k$ gibt uns also die k-te Teilschwingung in der Fourierreihe von $f$.¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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