Beispiel

Sei $f : R \to C$ T-periodisch. Sei $a \in (0, T)$ und $g : R \to C$ die T-periodisch fortgesetzte Funktion:

g (t) := {1/ a 0 f \overset{u}{¨} r t \in [0, a) f \overset{u}{¨} r t \in [a, T)

Dann gilt:

(f * g) (t) = \frac{1}{T} \int_{0}^{a} \frac{1}{a} f (t - s) d s = \frac{1}{T} \cdot \frac{1}{a} \int_{t - a}^{t} f (τ) d τ f \overset{u}{¨} r alle t \in R

Also ist (bis auf den Faktor $1/ T$ ) der Wert $(f * g) (t)$ der Faltung bei $t$ gleich dem Mittel der Funktion $f$ im Intervall $(t - a, t)$ . ¹

Übungsaufgaben

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