202510201710 - Beweis für Glättungseigenschaft der Faltung

Beweis

Der k-te Fourierkoeffizient der Faltung $f\ast g$ ist (mit Vertauschung der Integrationsreihenfolge):

$$\frac{1}{T}{\int }_0^T\left(\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t-s)g(s)ds\right)e^{-ik\omega t}dt=\frac{1}{T}{\int }_0^T\left(\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t-s)e^{-ik\omega t}dt\right)g(s)ds$$

Der innere Ausdruck $r_k(s):=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t-s)e^{-ik\omega t}dt$ ist der k-te Fourierkoeffizient der Funktion $t\to f(t-s)$. Nach Lemma 1.1.32(iv) gilt also $r_k(s)=e^{-ik\omega s}{c}_k$. Einsetzen liefert:

$$\frac{1}{T}{\int }_0^T(e^{-ik\omega s}{c}_k)g(s)ds=c_k\left(\frac{1}{T}{\int }_0^{T}g(s)e^{-ik\omega s}ds\right)=c_k{d}_k$$

für jedes $k\in \mathbb{Z}$, wie behauptet.¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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