202510202010 - Beweis für Lineare zeitinvariante Übertragungssysteme und Differentialgleichungen

Beweis

Wir lösen das Problem zunächst für $x(t)=e^{ik\omega t}$ mit $k\in \mathbb{Z}$. Der Ansatz $y(t)=d_k{e}^{ik\omega t}$ in (Gleichung 1.23) eingesetzt liefert $L[d_k{e}^{ik\omega t}]=d_{k}P(ik\omega )e^{ik\omega t}=e^{ik\omega t}$. Dies impliziert $P(ik\omega )d_k=1$, also $d_k=1/P(ik\omega )$. Wegen der Linearität von $L$ ist für einen allgemeinen Input $x(t)={\sum }_{k=-n}^n{c}_k{e}^{ik\omega t}$ der Output $y(t)={\sum }_{k=-n}^n{d}_k{c}_k{e}^{ik\omega t}$. Im Grenzwert $n\to \infty$ ist also die Funktion $y(t)$ mit Fourierspektrum $\{c_k{d}_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$ der Output zugehörig zum Input $x(t)$. Nach dem Faltungstheorem (Lemma 1.1.49) ist $y=h_T\ast x$ für die T-periodische Impulsantwort $h_T(t)={\sum }_{k\in \mathbb{Z}}{d}_k{e}^{ik\omega t}$.¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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