202510210010 - Beispiel für Berechnung der Impulsantwort des RC-Glieds

Beispiel

Wir wenden Lemma 1.1.52 auf die in Beispiel Beispiel 1.1.51 betrachetete DGL $\frac{1}{4}{y}^{\prime }(t)+y(t)=x(t)$ an. Die Gleichung $1/4h^{\prime }+h=0$ hat die $2\pi$-periodisch fortgesetzte Lösung $h(t)=c{e}^{-4t}$ für $t\in (0,2\pi )$. Offenbar ist h auf $(0,2\pi )$ glatt. Weil $m=1$ ist, müssen wir nur Bedingung (1.26) erfüllen (d.h. $c$ geeignet wählen). Es gilt $h^{(0)}(0^{+})=h(0^{+})=c$ $h^{(0)}(2{\pi }^{-})=h(2{\pi }^{-})=c{e}^{-8\pi }$Mit $T=2\pi ,m=1,a_1=1/4$ ist Gleichung 1.26 gegeben durch $c=c{e}^{-8\pi }+8\pi$, d.h. $c=8\pi /(1-e^{-8\pi })$. Die $2\pi$-periodische Impulsantwort ist:

$$h(t)=\frac{8\pi }{1-e^{-8\pi }}{e}^{-4t}\text{fu¨r }t\in (0,2\pi )(1.27)$$

Wir prüfen nach, dass das Resultat (1.27) mit dem im Beispiel 1.1.51 berechneten Frequenzgang übereinstimmt. Dazu berechnen wir den $k$-ten Fourierkoeffizient von $h$. Wir erhalten

$$\begin{array}{r}\frac{c}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{-4t}{e}^{-ikt}dt=\frac{c}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{-(4+ik)t}dt\\ =\frac{c}{2\pi }{\left[\frac{e^{-(4+ik)t}}{-(4+ik)}\right]}_0^{2\pi }\\ =\frac{c}{2\pi }\frac{e^{-8\pi }-e^0}{-(4+ik)}=\frac{c(1-e^{-8\pi })}{2\pi (4+ik)}=\frac{4}{4+ik}\end{array}$$

, also ist der Frequenzgang tatsächlich $d_k=\frac{4}{4+ik}$. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

• Resonanz für Alternative Charakterisierung der Impulsantwort

Quellen

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Footnotes

1. page=24 ↩