Behauptung (i) folgt direkt aus der Definition eines Orthonormalsystems. Um die Idee zu illustrieren, zeigen wir zuerst dass für orthonormale u,v∈H (also ∥u∥=1,∥v∥=1 und ⟨u,v⟩=0) und α,β∈C gilt
∥αu+βv∥2=∣α∣2+∣β∣2.
Tatsächlich ist
∥αu+βv∥2=⟨αu+βv,αu+βv⟩=ααˉ⟨u,u⟩+αβˉ⟨u,v⟩+βαˉ⟨v,u⟩+ββˉ⟨v,v⟩=∣α∣2+∣β∣2.
Ganz analog erhalten wir
∑k=−nnγkek2=⟨∑j=−nnγjej,∑k=−nnγkek⟩=∑j=−nn∑k=−nnγjγkˉ⟨ej,ek⟩=∑k=−nn∣γk∣2.
Für (ii) verwenden wir, dass die Norm nichtnegativ (und daher reellwertig) ist und erhalten
0≤f−∑j∈Ω⟨ej,f⟩ej2=⟨f−∑j∈Ω⟨ej,f⟩ej,f−∑k∈Ω⟨ek,f⟩ek⟩=⟨f,f⟩−∑k∈Ω⟨ek,f⟩⟨f,ek⟩−∑j∈Ω⟨ej,f⟩⟨ej,f⟩+∑j,k∈Ω⟨ej,f⟩⟨ek,f⟩⟨ej,ek⟩=∥f∥2−∑j∈Ω∣⟨ej,f⟩∣2.
Für Behauptung (iii) zeigen wir zuerst
⟨(f−Sfn),Sfn⟩=0,(1.30)
denn
⟨(f−Sfn),Sfn⟩=∑k=−nnckˉ⟨(f−Sfn),ek⟩=∑k=−nnckˉ(⟨f,ek⟩−⟨Sfn,ek⟩)=0
denn ⟨f,ek⟩=⟨Sfn,ek⟩=ck für k∈{−n,…,n}. Aus der Identität (1.30) folgt
∥f∥2=⟨f,f⟩=⟨f−Sfn+Sfn,f−Sfn+Sfn⟩=⟨f−Sfn,f−Sfn⟩+⟨f−Sfn,Sfn⟩+⟨Sfn,f−Sfn⟩+⟨Sfn,Sfn⟩=∥f−Sfn∥2+∥Sfn∥2
wie behauptet.
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Übungsaufgaben
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