202510242010 - Beweis für Approximation durch Orthogonalprojektion

Beweis

Seien $\{{\gamma }_j{\}}_{j=-n}^n\subset \mathbb{C}$ beliebig und $g={\sum }_{j=-n}^n{\gamma }_j{e}_j$. Definiere $u:=f-S_f^n$ $v:=S_f^n-g.$ Ähnlich wie im Beweis von Lemma 1.1.62 lässt sich leicht prüfen, dass $u$ und $v$ orthogonal sind, d.h. $⟨u,v⟩=0$. Daher gilt $\Vert f-g{\Vert }^2=\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2=\Vert f-S_f^n{\Vert }^2+\Vert S_f^n-g{\Vert }^2,$ also $\Vert f-S_f^n\Vert \le \Vert f-g\Vert$ mit Gleichheit genau dann wenn $\Vert S_f^n-g\Vert =0$, d.h. $S_f^n=g$. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

• tum_analysis3_Ulbrich-Ana3EI-WS2526-V9.pdf

Footnotes

1. page=29 ↩