202510250110 - Theorem für Äquivalente Bedingungen für Vollständigkeit

Satz

Sei $\{e_n{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ ein Orthonormalsystem in einem Hilbertraum $\mathcal{H}$. Dann sind äquivalent:

(i) $\{e_n{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ ist ein vollständiges Orthonormalsystem. (ii) Für jedes $f\in \mathcal{H}$ ist $f={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=-n}^n⟨e_k,f⟩\cdot e_k.$ (Hier ist Konvergenz mittels der Norm $\Vert \cdot \Vert$ auf $\mathcal{H}$ definiert.) (iii) Es gilt die Parseval-Identität $\Vert f{\Vert }^2={\sum }_{k\in \mathbb{Z}}|⟨e_k,f⟩{|}^2\text{fu¨r jedes }f\in \mathcal{H}.$ ¹

Beispiele

Übungsaufgaben

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Referenz

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Quellen

Footnotes

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