202510250210 - Beweis für Äquivalente Bedingungen für Vollständigkeit

Beweis

Beweis. (i)⇒ (ii): Wir zeigen zuerst die Existenz des Grenzwertes ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=-n}^n⟨e_k,f⟩\cdot e_k$. Dazu sei $S_f^n={\sum }_{k=-n}^n⟨e_k,f⟩\cdot e_k$ die n-te Partialsumme. Sei oEdA $n\ge m$. Dann gilt $\Vert S_f^n-S_f^m{\Vert }^2={\Vert {\sum }_{k=m+1}^n(⟨e_k,f⟩\cdot e_k+⟨e_{-k},f⟩\cdot e_{-k})\Vert }^2$ $={\sum }_{k=m+1}^n(|⟨e_k,f⟩{|}^2+|⟨e_{-k},f⟩{|}^2)\le {\sum }_{k=m+1}^{\infty }(|⟨e_k,f⟩{|}^2+|⟨e_{-k},f⟩{|}^2)$ weil $\{e_n{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ orthonormal sind. Wegen der Besselschen Ungleichung (siehe Bemerkung 1.1.63) folgt $\Vert S_f^n-S_f^m\Vert \to 0\text{fu¨r }m\to \infty .$ Also ist $\{S_f^n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Cauchyfolge und daher konvergent (weil ein Hilbertraum vollständig ist), wie behauptet. Sei jetzt $S={\lim }_{n\to \infty }{S}_f^n$ der Grenzwert. Dann gilt (wegen der Stetigkeit des Skalarproduktes) $⟨e_j,S-f⟩={\lim }_{n\to \infty }⟨e_j,S_f^n-f⟩={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=-n}^n⟨e_j,⟨e_k,f⟩\cdot e_k⟩-⟨e_j,f⟩$ $=⟨e_j,f⟩-⟨e_j,f⟩=0,\text{fu¨r jedes }j\in \mathbb{Z},$ also $S-f=0$ wegen der Vollständigkeit von $\{e_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$.

(ii)⇒(iii): Weil die Folge $\{S_f^n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ nach Annahme gegen $f$ konvergiert, gilt wegen der Stetigkeit der Norm $\Vert f{\Vert }^2={\lim }_{n\to \infty }\Vert S_f^n{\Vert }^2={\lim }_{n\to \infty }{\Vert {\sum }_{k=-n}^n⟨e_k,f⟩\cdot e_k\Vert }^2$ $={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=-n}^n|⟨e_k,f⟩{|}^2={\sum }_{k\in \mathbb{Z}}|⟨e_k,f⟩{|}^2$ wie behauptet.

(iii)⇒(i) Sei $f\in \mathcal{H}$ beliebig mit $⟨e_k,f⟩=0$ für alle $k\in \mathbb{Z}$. Dann gilt nach (iii) $\Vert f{\Vert }^2={\sum }_{k\in \mathbb{Z}}|⟨e_k,f⟩{|}^2=0,$ also $f=0$ weil die Norm $\Vert \cdot \Vert$ positiv definit ist. Dies zeigt, dass das Orthonormalsystem $\{e_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$ vollständig ist. ¹

Übungsaufgaben

LIST FROM [[]]
WHERE contains(mytags, [[aufgaben]])
SORT file.name ASC

Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. page=31 ↩