202510250510 - Motivation für Fouriertransformation auf R

Motivation

Ziel der Fouriertransformation auf $\mathbb{R}$ ist es, nicht-periodische Funktionen im Frequenzraum zu analysieren; dies wird als harmonische Analysis bezeichnet. Die zugrundeliegende Idee ist, eine allgemeine Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ als T-periodische Funktion zu betrachten mit $T\to \infty$.

Genauer: Sei $T>0$ und $f_T:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ die T-periodische Fortsetzung der Einschränkung $f{|}_{(-T/2,T/2)}$. Im Folgenden werden wir (statt $\omega$) $\Delta \omega :=\frac{2\pi }{T}$ für die Kreisfrequenz schreiben und wir setzen ${\omega }_k:=k\Delta \omega$ für $k\in \mathbb{Z}$. Dann ist der k-te Fourierkoeffizient von $f_T$ $c_k=\frac{1}{T}{\int }_0^T{f}_T(t)e^{-ik\Delta \omega t}dt=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-i{\omega }_{k}t}dt(1.35)$ und es gilt $f(t)=S_f(t)={\sum }_{k\in \mathbb{Z}}{c}_k{e}^{ik\Delta \omega t}\text{fu¨r }t\in (-T/2,T/2).(1.36)$ Definieren wir die Funktion $F_T:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ durch $F_T(\omega ):={\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-i\omega t}dt,$ lassen sich (1.35) und (1.36) schreiben als $c_k=\frac{1}{T}{F}_T({\omega }_k)=\frac{\Delta \omega }{2\pi }{F}_T({\omega }_k)$ $f(t)=\frac{1}{2\pi }{\sum }_{k\in \mathbb{Z}}\Delta \omega F_T({\omega }_k)e^{i{\omega }_{k}t}\text{fu¨r }t\in (-T/2,T/2).(1.37)$ Die rechte Seite von (1.37) kann als Riemannsumme des Integrals $\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{F}_T(\omega )e^{i\omega t}d\omega$ interpretiert werden. Weil $\Delta \omega \to 0$ für $T\to \infty$ erhalten wir (unter geeigneten Voraussetzungen an $f$) im Grenzwert $T\to \infty$ $f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega \text{wobei }F(\omega ):={\lim }_{T\to \infty }{F}_T(\omega ).$ ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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