Beweis. Die Ungleichungen (1.38) folgen unmittelbar aus
∣f^(ω)∣≤∫−∞∞f(t)e−iωtdt≤∫−∞∞∣f(t)∣dt=∥f∥1.
sowie analoger Argumentation für fˇ(t).
Um die gleichmäßige Stetigkeit von f^ zu zeigen stellen wir fest, dass ∥f∥1<∞ impliziert, dass
limT→∞(∫T∞∣f(t)∣dt+∫−∞−T∣f(t)∣dt)=0.
Daher existiert zu jedem ϵ>0 ein Tϵ so dass
∫T∞∣f(t)∣dt+∫−∞−T∣f(t)∣dt<ϵ/4fu¨r alle T>Tϵ.(1.39)
Sei jetzt ϵ>0 vorgegeben und T=Tϵ. Wir zeigen, dass
∣f^(ω1)−f^(ω2)∣<ϵfalls ∣ω1−ω2∣<2ϵ⋅T⋅∥f∥11,
was bedeutet, dass f^ gleichmäßig stetig ist. Dies folgt aus
∣f^(ω1)−f^(ω2)∣=∫−∞∞f(t)(e−iω1t−e−iω2t)dt≤∫−TT∣f(t)∣⋅∣e−iω1t−e−iω2t∣dt+∫T∞∣f(t)∣⋅∣e−iω1t−e−iω2t∣dt+∫−∞−T∣f(t)∣⋅∣e−iω1t−e−iω2t∣dt.
Mit (1.39) und der Abschätzung ∣e−iω1t−e−iω2t∣≤2 folgern wir daraus
∣f^(ω1)−f^(ω2)∣≤∫−TT∣f(t)∣⋅∣e−iω1t−e−iω2t∣dt+2ϵ.(1.40)
Es gilt
e−iω1t−e−iω2t=e−i2t(ω1+ω2)(e−i2t(ω1−ω2)−ei2t(ω1−ω2))=−2ie−i2t(ω1+ω2)sin(2t(ω1−ω2)),
also
∣e−iω1t−e−iω2t∣=2sin(2t(ω1−ω2))≤22∣t∣∣ω1−ω2∣=∣t∣∣ω1−ω2∣≤T∣ω1−ω2∣.
Einsetzen in (1.40) liefert
∣f^(ω1)−f^(ω2)∣≤T⋅∣ω1−ω2∣⋅∫−TT∣f(t)∣dt+2ϵ<ϵfalls ∣ω1−ω2∣<2ϵ⋅T⋅∥f∥11.
Die gleichmäßige Stetigkeit von fˇ wird analog bewiesen.
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