202510251910 - Eigenschaften der Fouriertransformation

Lemma

Es gelten folgende Rechenregeln für die Fouriertransformation. Seien $f,g\in L^1(\mathbb{R})$, $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$ und $a,\theta ,c\in \mathbb{R}$ beliebig. Dann gilt

(i) (Linearität) $\widehat{(\alpha f+\beta g)}(\omega )=\alpha \hat{f}(\omega )+\beta \hat{g}(\omega )\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R}.$ (ii) (Komplexkonjugation) Die Spektraldichte der Funktion $t\to \overline{f(t)}:=\overline{f(t)}$ ist $\hat{\overline{f}}(\omega )=\overline{\hat{f}(-\omega )}$ für alle $\omega \in \mathbb{R}$. (iii) (Zeitumkehr) Die Spektraldichte der Funktion $t\to f(-t)$ ist $\omega \to \hat{f}(-\omega )$. (iv) (Verschiebung im Zeitbereich) Sei $a\in \mathbb{R}$ beliebig. Die Spektraldichte der Funktion $t\to f_a(t):=f(t+a)$ ist $\widehat{f_a}(\omega )=\hat{f}(\omega )e^{i\omega a}$. (v) (Verschiebung im Spektralbereich=Amplitudenmodulation) Sei $\theta \in \mathbb{R}$ beliebig. Die Spektraldichte der Funktion $t\to f_{\theta }(t):=e^{i\theta t}f(t)$ ist $\widehat{f_{\theta }}(\omega )=\hat{f}(\omega -\theta )$. (vi) (Skalierung) Sei $c\ne 0$. Die Spektraldichte der Funktion $t\to f_c(t):=f(ct)$ ist $\widehat{f_c}(\omega )=\frac{1}{|c|}\hat{f}(\omega /c)$.

Beachte, dass (vi) anders ist als bei Fourierreihen, deren Spektrum unter Skalierung invariant bleibt. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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