202510252010 - Beweis für Eigenschaften der Fouriertransformation 2

Beweis

Beweis. Aussage (i) folgt wieder direkt aus der Linearität des Integrals und der Definition der Fouriertransformierten. Für (ii) berechnen wir $\hat{\overline{f}}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }\overline{f(t)}{e}^{-i\omega t}dt=\overline{{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{i\omega t}dt}=\overline{\hat{f}(-\omega )}\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R}.$ Analog folgt (iii) mittels der Variablensubstitution $\tau =-t$: wir haben ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(-t)e^{-i\omega t}dt=-{\int }_{\infty }^{-\infty }f(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau ={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau =\hat{f}(-\omega )\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R}.$ Für Eigenschaft (iv) verwenden wir $e^{-i\omega (\tau -a)}=e^{-i\omega \tau }{e}^{i\omega a}$, also mit der Substitution $\tau =t+a$ ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t+a)e^{-i\omega t}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )e^{-i\omega (\tau -a)}d\tau =e^{i\omega a}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau =e^{i\omega a}\hat{f}(\omega )\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R}.$ Eigenschaft (v) folgt aus ${\int }_{-\infty }^{\infty }(e^{i\theta t}f(t))e^{-i\omega t}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i(\omega -\theta )t}dt=\hat{f}(\omega -\theta )\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R}.$ Schließlich erhalten wir (vi) mit der Variablensubstitution $\tau =ct$ aus ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(ct)e^{-i\omega t}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )e^{-i\omega \tau /c}\frac{1}{|c|}d\tau =\frac{1}{|c|}\hat{f}(\omega /c)\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R}.$ ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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