202510252210 - Fouriertransformierte der Ableitung

Lemma

Sei $f\in L^1(\mathbb{R})$ stückweise stetig mit endlich vielen Sprungstellen $t_1<t_2<\cdots <t_N$ und dazwischen stetig differenzierbar mit $f^{\prime }\in L^1(\mathbb{R})$ (wobei $f^{\prime }(t)$ nur außerhalb der Sprungstellen $t_j$ von $f$ definiert ist). Dann hat $f^{\prime }$ die Spektraldichte $\widehat{f^{\prime }}(\omega )=i\omega \hat{f}(\omega )-{\sum }_{k=1}^N(f(t_k^{+})-f(t_k^{-}))e^{-i\omega t_k}\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R}.$ ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

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Quellen

Footnotes

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