202510252310 - Beweis für Fouriertransformierte der Ableitung 2

Beweis

Beweis. Wie im Beweis von Lemma 1.1.40 folgt dies durch partielle Integration. Seien $t_1<\cdots <t_N$ die Sprungstellen von $f$ und ${\Delta }_j=f(t_j^{+})-f(t_j^{-}).$ Sei $f^{\prime }$ die Ableitung (definiert nur außerhalb der Sprungstellen). Wir integrieren über Teilintervalle $(t_j,t_{j+1})$ mit der Konvention $t_0=-\infty$ und $t_{N+1}=\infty$, d.h. $\widehat{f^{\prime }}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}^{\prime }(t)e^{-i\omega t}={\sum }_{j=0}^N{\int }_{t_j}^{t_{j+1}}{f}^{\prime }(t)e^{-i\omega t}dt,(1.42)$ Jeden Summanden in diesem Ausdruck behandeln wir durch partielle Integration: Wir haben ${\int }_{t_j}^{t_{j+1}}{f}^{\prime }(t)e^{-i\omega t}dt=[f(t)e^{-i\omega t}{]}_{t=t_j^{+}}^{t_{j+1}^{-}}+i\omega {\int }_{t_j}^{t_{j+1}}f(t)e^{-i\omega t}dt$ für jedes $j=0,\dots ,N$. Einsetzen in (1.42) liefert $\widehat{f^{\prime }}(\omega )={\sum }_{j=0}^N[f(t)e^{-i\omega t}{]}_{t=t_j^{+}}^{t_{j+1}^{-}}+i\omega {\sum }_{j=0}^N{\int }_{t_j}^{t_{j+1}}f(t)e^{-i\omega t}dt={\sum }_{j=0}^N[f(t)e^{-i\omega t}{]}_{t=t_j^{+}}^{t_{j+1}^{-}}+i\omega \hat{f}(\omega )$ für jedes $\omega \in \mathbb{R}$. Die Behauptung folgt aus diesem Ausdruck, weil ${\sum }_{j=0}^N[f(t)e^{-i\omega t}{]}_{t=t_j^{+}}^{t_{j+1}^{-}}={\sum }_{j=0}^N(f(t_{j+1}^{-})e^{-i\omega t_{j+1}}-f(t_j^{+})e^{-i\omega t_j})$ $=(f(t_{N+1}^{-})e^{-i\omega t_{N+1}}-f(t_0^{-})e^{-i\omega t_0})+{\sum }_{j=1}^N(f(t_j^{-})-f(t_j^{+}))e^{-i\omega t_j}=-{\sum }_{j=1}^N{\Delta }_j{e}^{-i\omega t_j}.$ Hier haben wir benutzt, dass ${\lim }_{t\to -\infty }f(t)={\lim }_{t\to \infty }f(t)=0$ für $f\in L^1(\mathbb{R})$. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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