202510260110 - Beweis für Abklingverhalten der Spektraldichte

Beweis

Beweis. Ist $f^{\prime }\in L^1(\mathbb{R})$, dann ist $\widehat{f^{\prime }}$ beschränkt (mit Konstante $\Vert f^{\prime }{\Vert }_1$) und stetig (siehe Lemma 1.2.5). Mit Lemma 1.2.13 folgt $|\hat{f}(\omega )|=\left|\frac{1}{i\omega }\left(\widehat{f^{\prime }}(\omega )+{\sum }_{k=1}^N(f(t_k^{+})-f(t_k^{-}))e^{-i\omega t_k}\right)\right|$ $\le \frac{1}{|\omega |}\left(\Vert f^{\prime }{\Vert }_1+{\sum }_{k=1}^N|f(t_k^{+})-f(t_k^{-})|\right)\text{fu¨r alle }\omega \ne 0,$ also Behauptung (1.43). Der Beweis von (ii) geht analog und folgt dem Muster des Beweises von Lemma 1.1.41. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

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Quellen

Footnotes

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