202510260810 - Beweis für Fouriertransformierte der Gaußschen Glockenkurve

Beweis

Beweis. Nach Lemma 1.2.15 hat $t\to f^{\prime }(t)\text{die Spektraldichte}\omega \to (i\omega )\hat{f}(\omega ).$ Also hat $t\to t{e}^{-t^2/2}\text{die Spektraldichte}\omega \to -(i\omega )\hat{f}(\omega ).(1.44)$ Lemma 1.2.17 angewandt auf $P(z)=z$ zeigt andererseits, dass die Funktion $t\to t{e}^{-t^2/2}\text{die Spektraldichte}\omega \to i{\hat{f}}^{\prime }(\omega )(1.45)$ hat. Mit dem Umkehrsatz (d.h. Eindeutigkeit der Fouriertransformierten) folgt aus (1.44) und (1.45) dass $\frac{d}{d\omega }\hat{f}(\omega )=-\omega \hat{f}(\omega )\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R}.$ Lösen dieser Differentialgleichung gibt $\hat{f}(\omega )=\hat{f}(0)e^{-{\omega }^2/2}\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R}.(1.46)$ Außerdem ist $\hat{f}(0)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2/2}dt=\sqrt{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{2\pi }\text{(bekannte Formel)}.(1.47)$ Aus (1.46) und (1.47) folgt $\hat{f}(\omega )=\hat{f}(0)e^{-{\omega }^2}=\sqrt{2\pi }{e}^{-{\omega }^2/2}\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R},$ wie behauptet. ¹

Übungsaufgaben

LIST FROM [[]]
WHERE contains(mytags, [[aufgaben]])
SORT file.name ASC

Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. page=40 ↩