202510261110 - Fouriertransformation reellwertiger Funktionen 2

Lemma

Sei $f\in L^1(\mathbb{R})$ und $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dann gilt $\hat{f}(-\omega )=\overline{\hat{f}(\omega )}\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R}.(1.48)$ Außerdem gilt für alle $\omega \in \mathbb{R}$ $\hat{f}(\omega )\text{ ist }\{\begin{array}{ll}\text{reell}& \text{falls f gerade ist}\\ \text{imagina¨r}& \text{falls f ungerade ist.}\end{array}(1.49)$ Für die Zerlegung $f=f_g+f_u$ in geraden und ungeraden Anteil gilt $\widehat{f_g}(\omega )=\text{Re}(\hat{f}(\omega ))\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R}$ $\widehat{f_u}(\omega )=i\text{Im}(\hat{f}(\omega ))\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R}.$ ¹

Übungsaufgaben

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Quellen

Footnotes

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