202510261610 - Beweis für Faltungssatz

Beweis

Beweis. Durch Vertauschen der Integrationsreihenfolge und mit der Variablensubstitution $\theta =t-s$ folgt $\widehat{f\ast g}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }\left({\int }_{-\infty }^{\infty }f(t-s)g(s)ds\right)e^{-i\omega t}dt$ $={\int }_{-\infty }^{\infty }g(s)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }f(t-s)e^{-i\omega t}dt\right)ds$ $={\int }_{-\infty }^{\infty }g(s)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }f(\theta )e^{-i\omega (s+\theta )}d\theta \right)ds$ $=\left({\int }_{-\infty }^{\infty }f(\theta )e^{-i\omega \theta }d\theta \right)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }g(s)e^{-i\omega s}ds\right)$ $=\hat{f}(\omega )\hat{g}(\omega )\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R}.$ ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

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Quellen

Footnotes

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