202510270210 - Beweis für Dirac-Folgen und Grenzwertverhalten

Beweis

Beweis. Sei $c>0$ beliebig. Dann ist $g_c(t):=\frac{1}{\pi }\frac{c}{c^2+t^2}=\frac{1}{2\pi }\left(\frac{1}{c-it}+\frac{1}{c+it}\right).$ Es gilt ${\int }_0^{\infty }{e}^{-c\omega }{e}^{i\omega t}d\omega ={\int }_0^{\infty }{e}^{(-c+it)\omega }d\omega ={\left[\frac{e^{(-c+it)\omega }}{-c+it}\right]}_{\omega =0}^{\infty }=\frac{1}{c-it}$ sowie ${\int }_{-\infty }^0{e}^{c\omega }{e}^{i\omega t}d\omega ={\left[\frac{e^{(c+it)\omega }}{c+it}\right]}_{\omega =-\infty }^0=\frac{1}{c+it}$ also $\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-c|\omega |}{e}^{i\omega t}d\omega =g_c(t).$ Aus dem Umkehrsatz folgt daraus, dass $\widehat{g_c}(\omega )=e^{-c|\omega |}\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R},$ also $\widehat{{\delta }_n}(\omega )=\widehat{g_{1/n}}(\omega )=e^{-|\omega |/n}\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R}.$ ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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