202510270310 - Oberthema für verallgemeinerte Ableitungen

Definition

Die Heaviside-Funktion $\theta$ ist in $0$ nicht differenzierbar (nicht einmal stetig). Mittels der Theorie der Distributionen lässt sich trotzdem eine verallgemeinerte Ableitung $D\theta$ von $\theta$ definieren. Wir skizzieren dies kurz.

Die (verallgemeinerte) Ableitung $Dg$ einer Distribution $g$ wird definiert durch die Forderung: $Dg[\varphi ]:=-g[{\varphi }^{\prime }]$ für alle unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen $\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{C}$, die, ebenso wie ihre Ableitungen, für $|t|\to \infty$ hinreichend schnell gegen $0$ streben (wir gehen nicht ins Detail; wenn es $M>0$ gibt, so dass $\varphi$ außerhalb von $[-M,M]$ gleich Null ist, dann gilt letzteres jedenfalls).

In Integralschreibweise:

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\varphi (t)Dg(t)dt:=-{\int }_{-\infty }^{\infty }{\varphi }^{\prime }(t)g(t)dt(1.58)$$

für alle “Testfunktionen” $\varphi$ wie oben angegeben.

Diese Definition von $Dg$ ergibt sich aus der partiellen Integration: Ist $f\in C^1(\mathbb{R})$, dann gilt wegen ${\lim }_{|t|\to \infty }\varphi (t)=0$:

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\varphi (t)f^{\prime }(t)dt=-{\int }_{-\infty }^{\infty }{\varphi }^{\prime }(t)f(t)dt$$

d.h. für $Dg$ wird der gleiche Zusammenhang mit $g$ gefordert, wie er sich für $f^{\prime }$ zu $f$ mittels partieller Integration ergibt.

Wir wenden dies nun auf $\theta$ an, indem wir $\theta [\varphi ]={\int }_{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\theta (t)dt$ als Distribution auffassen (das geht für jede Funktion, für die das rechtsstehende Integral für alle $\varphi$ wohldefiniert ist) und die Distributionsableitung berechnen:

$$D\theta [\varphi ]={\int }_{-\infty }^{\infty }\varphi (t)D\theta (t)dt:=-{\int }_{-\infty }^{\infty }{\varphi }^{\prime }(t)\theta (t)dt=-{\int }_0^{\infty }{\varphi }^{\prime }(t)dt=-[\varphi (t){]}_0^{\infty }=\varphi (0)=\delta [\varphi ]$$

für alle Testfunktionen $\varphi$ wie oben angegeben.

Damit folgt:

$$D\theta =\delta$$

Dieses Ergebnis für die Sprungfunktion verallgemeinernd und konsistent mit (1.58) können wir folgendes Konzept definieren. ¹

Oberthema

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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