202510270810 - Funktionalkalkül für Matrizen und matrixwertife Funktion

Definition

Identitäten für Skalare, wie z.B. die Formel für die geometrische Reihe: ${\sum }_{k=0}^{\infty }{q}^k=\frac{1}{1-q}=(1-q{)}^{-1}\text{fu¨r }|q|<1$ lassen sich auf Matrizen verallgemeinern.

Konkret sei $A=(A_{j,k}{)}_{j,k=1}^n\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ eine $n\times n$-Matrix mit komplexen Einträgen. Dazu betrachten wir statt $q^k$ das $k$-fache Matrixprodukt $A^k=\underset{k\text{ Faktoren}}{\underbrace{A\cdot \dots \cdot A}}$, ersetzen die $1$ durch die $n\times n$-Identitätsmatrix $I$ und betrachten den Ausdruck $(I-A{)}^{-1}$ als die Matrixinverse von $(I-A)$.

Die Einschränkung $|q|<1$ übersetzt sich in die Schranke $\Vert A\Vert <1$ mit der (Matrix-)Norm: $\Vert A\Vert ={\sup }_{x\in {\mathbb{C}}^n,\Vert x\Vert =1}\Vert Ax\Vert$ wobei hier $\Vert x\Vert =\sqrt{{\sum }_{j=1}^n|x_j{|}^2}$ die Euklidische Norm eines Vektors $x\in {\mathbb{C}}^n$ ist. ¹

Unterthemen

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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