202510271410 - Heaviside Theta

Beispiel

Die Funktion

$$\theta (t)=\{\begin{array}{ll}0& t<0\\ 1/2& t=0\\ 1& t>0\end{array}$$

heißt Heaviside Theta-Funktion. Ähnlich wie mit $\delta$-Folgen können wir

$$\theta (t)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\theta }_n(t)\text{mit}{\theta }_n(t)=\frac{1}{2}(\tanh (tn)+1)$$

als Grenzwert stetiger Funktionen auffassen. Eine alternative Funktionenfolge $\{{\theta }_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $\theta (t)={\lim }_{n\to \infty }{\theta }_n(t)$ für alle $t\in \mathbb{R}$ ist

$${\theta }_n(t)=\frac{1}{2}\text{sign}(t)e^{-|t|/n}+\frac{1}{2},$$

siehe Abbildung 6. Die Fouriertransformierte von $\theta$ ist

$$\hat{\theta }(\omega )=\pi \delta (\omega )+\{\begin{array}{ll}0& \text{fu¨r }\omega =0\\ 1/(i\omega )& \text{fu¨r }\omega \ne 0.\end{array}$$

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Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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