Beweis

Wir berechnen zuerst (für $c > 0$ ) die Spektraldichte der Funktion $g_{c} (t) := \frac{1}{2} sign (t) e^{- c ∣ t ∣}$ . Es gilt analog wie oben

\overset{g_{c}}{^} (ω) = - \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{0} e^{c t} e^{- iω t} d t + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{- c t} e^{- iω t} d t = \frac{1}{2} (\frac{- 1}{c - iω} + \frac{1}{c + iω}) = - \frac{iω}{c ^{2} + ω ^{2}}

und damit

\hat{θ_{n}} (ω) = g_{1/ n} (ω) + \frac{1}{2} \hat{1} (ω) = π δ (ω) - \frac{iω}{1/ n ^{2} + ω ^{2}} \to π δ (ω) + {0 1/ (iω) ω = 0 sonst,

für $n \to \infty$ , wie behauptet. ¹

Übungsaufgaben

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