202510272110 - Beweis für Abtastwerte eines harmonischen Signals

Beweis

Unter Bedingung Gleichung 1.60 existieren $m\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ und eine $\tilde{\omega }\in [-{\omega }_s/2,{\omega }_s/2]$ so dass

$$\omega =\tilde{\omega }+m{\omega }_s.$$

Dann gilt für jedes $k\in \mathbb{Z}$

$$f(k\Delta t)=e^{i\omega k\Delta t}=e^{i\tilde{\omega }k\Delta t}{e}^{ikm{\omega }_s\Delta t}=e^{i\tilde{\omega }k\Delta t}{e}^{2\pi ikm}=e^{i\tilde{\omega }k\Delta t}.$$

Also sind die Abtastwerte für $f$ dieselben wie für die niederfrequentere Schwingung $t\to e^{i\tilde{\omega }t}$, und $f$ ist anhand der Abtastwerte nicht von letzteren unterscheidbar. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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