202510280510 - Beweis für Existenzsatz für die Laplacetransformation 2

Beweis

Sei $s\in \mathbb{C}$ mit $\text{Re}(s)>{\sigma }_0$ gegeben und $\sigma \in \mathbb{R}$ zwischen diesen Werten, d.h. $\text{Re}(s)>\sigma >{\sigma }_0$. Dann gilt

$$|\mathcal{L}[f](s)|\le {\int }_0^{\infty }|f(t)|\cdot |e^{-st}|dt\le C{\int }_0^{\infty }{e}^{(\sigma -\text{Re}(s))t}dt={\left[\frac{C}{\sigma -\text{Re}(s)}{e}^{(\sigma -\text{Re}(s))t}\right]}_{t=0}^{\infty }=\frac{C}{\text{Re}(s)-\sigma }.$$

Daraus folgt die Existenz des uneigentlichen Integrals (also (i)) sowie (ii). Für (iii) sei $T>0$. Wir schreiben

$$\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt=:I_1(T)+I_2(T)\text{wobei}$$ $$I_1(T)={\int }_0^{T}f(t)e^{-st}dt\text{und}{I}_2(T)={\int }_T^{\infty }f(t)e^{-st}dt.$$

Es gilt für $\text{Re}(s)\ge {\sigma }_1>{\sigma }_0$

$$|I_2(T)|\le {\int }_T^{\infty }|f(t)|e^{-\text{Re}(s)t}dt\le C{\int }_T^{\infty }{e}^{({\sigma }_0-\text{Re}(s))t}dt\le C{\int }_T^{\infty }{e}^{({\sigma }_0-{\sigma }_1)t}dt={\left[\frac{C}{{\sigma }_0-{\sigma }_1}{e}^{({\sigma }_0-{\sigma }_1)t}\right]}_{t=T}^{\infty }=\frac{C}{{\sigma }_0-{\sigma }_1}{e}^{({\sigma }_0-{\sigma }_1)T}\to 0\text{fu¨r }T\to \infty .$$

Daraus folgt die gleichmäßige Konvergenz des uneigentlichen Integrals. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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