202510281810 - Dualitätsprinzip für Laplacetransformation 2

Lemma

Sei $m\in \mathbb{N}$. Dann gelten folgende Aussagen: (i) Sei $m\in \mathbb{N}$, $f$ und $f^{(n)}$, $1\le n\le m-1$, stetig auf $[0,\infty )$ mit höchstens exponentiellem Wachstum (Konvergenzabszisse ${\sigma }_0\in \mathbb{R}$) und $f^{(m)}$ sei stückweise stetig auf $[0,\infty )$. Dann gilt für alle $s\in \mathbb{C}$ mit $\text{Re}(s)>{\sigma }_0$:

$$\mathcal{L}[f^{(m)}](s)=s^m\mathcal{L}[f](s)-s^{m-1}f(0^{+})-\cdots -s{f}^{(m-2)}(0^{+})-f^{(m-1)}(0^{+}).$$

(ii) Sei $f:[0,\infty )\to \mathbb{C}$ stückweise stetig und höchstens exponentiell wachsend (Konvergenzabszisse ${\sigma }_0$). Dann gilt für $\text{Re}(s)>{\sigma }_0$:

$$\mathcal{L}[t\to (-1{)}^m{t}^{m}f(t)](s)=\mathcal{L}[f{]}^{(m)}(s).$$

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Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

• Spezialfall von Dualitätsprinzip für Laplacetransformation
• 202510282010 - Beweis für Dualitätsprinzip für Laplacetransformation

Quellen

Footnotes

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