202510290110 - Beweisskizze für Grenzwerte der Laplace-Transformation 2

Beweis

Wir benutzen $\mathcal{L}[f^{\prime }](s)={\int }_0^{\infty }{f}^{\prime }(t)e^{-st}dt=s\mathcal{L}[f](s)-f(0^{+})$. Unter Verwendung von $e^{-st}\to 0$ für $\text{Re}(s)\to \infty$ und der Eigenschaft (ii) von Theorem 1.3.6, wonach die linke Seite im Limes $\text{Re}(s)\to \infty$ verschwindet, folgt die Behauptung (1.69). Die zweite Behauptung folgt mit $e^{-st}\to 1$ für $s\to 0$ und (man darf hier wegen der Voraussetzungen Integration und Grenzwert vertauschen):

$$s\mathcal{L}[f](s)-f(0^{+})=\mathcal{L}[f^{\prime }](s)={\int }_0^{\infty }{f}^{\prime }(t)e^{-st}dt\to {\int }_0^{\infty }{f}^{\prime }(t)dt(s\to 0)$$

Denn nun gilt

$${\int }_0^{\infty }{f}^{\prime }(t)dt=[f(t){]}_{t=0^{+}}^{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)-f(0^{+}).$$

¹

Übungsaufgaben

LIST FROM [[]]
WHERE contains(mytags, [[aufgaben]])
SORT file.name ASC

Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. page=57 ↩