202510290910 - Beweis für Produktregel für die Faltung 2

Beweis

Dies folgt aus

$$\begin{array}{rl}(\mathcal{L}[f]\cdot \mathcal{L}[g])(s)& =\mathcal{L}[f](s)\cdot \mathcal{L}[g](s)\\ & ={\int }_0^{\infty }\mathcal{L}[f](s)g(t)e^{-st}dt\\ & ={\int }_0^{\infty }\left({\int }_0^{\infty }f(\tau )e^{-s\tau }{e}^{-st}d\tau \right)g(t)dt\\ & ={\int }_0^{\infty }\left({\int }_t^{\infty }f(\theta -t)e^{-s\theta }d\theta \right)g(t)dt.\end{array}$$

Hier haben wir die Substitution $\theta =t+\tau$ verwendet. Der Integrationsbereich ist ein halber Quadrant und lässt sich schreiben als

$$\{(t,\theta )\in {\mathbb{R}}^2|t\ge 0\text{ und }\theta \ge t\}=\{(t,\theta )\in {\mathbb{R}}^2|\theta \ge 0\text{ und }0\le t\le \theta \}.$$

Durch Vertauschen der Integrationsreihenfolge (erlaubt, weil ${\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }|g(t)f(\tau )e^{-s(t+\tau )}|d\tau dt$ konvergiert) erhalten wir daher

$$(\mathcal{L}[f]\cdot \mathcal{L}[g])(s)={\int }_0^{\infty }\left({\int }_0^{\theta }f(\theta -t)g(t)dt\right)e^{-s\theta }d\theta ={\int }_0^{\infty }(f\ast g)(\theta )e^{-s\theta }d\theta =\mathcal{L}[f\ast g](s).$$

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Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. [[tum_KoenigUlbrich-Analysis3EI-WS2526-skript.pdf#page=59 ↩