202510291810 - Geometrische Reihe für Matrizen

Lemma

Betrachte den Ausdruck ${\sum }_{k=0}^{\infty }{A}^k$ für $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$. Dann gilt: (i) Für jedes ${\sigma }_0<1$ konvergiert die Reihe (1.74) gleichmäßig auf der Menge der Matrizen $A$ mit $\Vert A\Vert \le {\sigma }_0$. (ii) Es gilt ${\sum }_{k=0}^{\infty }{A}^k=(I-A{)}^{-1}$ für alle $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ mit $\Vert A\Vert <1$. ¹

Übungsaufgaben

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Quellen

Footnotes

1. page=61 ↩