202510291910 - Beweis zu Geometrische Reihe für Matrizen 2

Beweis

Behauptung (i) folgt analog wie der Beweis der gleichmäßigen Konvergenz der geometrischen Reihe (1.73) für Skalare, mit der Ersetzung von $|\cdot |$ durch die Matrixnorm $\Vert \cdot \Vert$. Zum Beweis von (ii) berechnen wir

$$(I-A)\sum _{k=0}^{\infty }{A}^k=\sum _{k=0}^{\infty }{A}^k-\sum _{k=0}^{\infty }{A}^{k+1}=A^0=I.$$

Analog kann gezeigt werden, dass $({\sum }_{k=0}^{\infty }{A}^k)(I-A)=I$. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

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Quellen

Footnotes

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