202510300110 - Beweis zu Laplace-Transformierte von e hoch tA

Beweis

Für $k\in {\mathbb{N}}_0$ gilt wegen Beispiel 1.3.19 und der Linearität der Laplace-Transformation

$$\mathcal{L}[t\to t^k{A}^k](s)=\mathcal{L}[t\to t^k](s)A^k=\frac{k!}{s^{k+1}}{A}^k$$

falls Re$(s)>0$, also $\mathcal{L}[t\to \frac{t^k}{k!}{A}^k](s)=\frac{1}{s^{k+1}}{A}^k$. Setzen wir in $\exp (tA)={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{t^k}{k!}{A}^k$ für die Summanden ein, so liefert Lemma 1.3.33, wobei wir $|s|>\Vert A\Vert$ fordern:

$$\mathcal{L}[t\to e^{tA}](s)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{A^k}{s^{k+1}}=\frac{1}{s}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{A}{s}\right)}^k=\frac{1}{s}{\left(I-\frac{1}{s}A\right)}^{-1}=(sI-A{)}^{-1}.$$

¹

Übungsaufgaben

LIST FROM [[]]
WHERE contains(mytags, [[aufgaben]])
SORT file.name ASC

Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. page=62 ↩