Beispiel

Betrachte das lineare DGL-System

x^{'} (t) = (2012) x (t) + e^{2 t} (10) f \overset{u}{¨} r alle t \in R und x (0) = c = (c_{1} c_{2}) .

Es sei $X (s) = L [x] (s)$ die Laplacetransformierte der (unbekannten) Lösung $x (t)$ . Wir gehen wie folgt vor:

Schritt: Durch (eintragsweise) Laplacetransformation der Gleichung (1.77) erhalten wir $s X (s) - c = (2012) X (s) + \frac{1}{s - 2} (10) .$
Schritt: Wir schreiben (1.78) um als $(s - 2 0 - 1 s - 2) X (s) = (c_{1} + \frac{1}{s - 2} c_{2})$ und können damit für $s \neq = 2$ nach $X (s)$ auflösen. Wir erhalten $X (s) = (X_{1} (s) X_{2} (s))$ mit $X_{1} (s) = \frac{c _{1}}{s - 2} + \frac{1}{( s - 2 ) ^{2}} + \frac{c _{2}}{( s - 2 ) ^{2}} X_{2} (s) = \frac{c _{2}}{s - 2} .$
Schritt: Rücktransformation von $X$ gibt $x (t) = L^{- 1} [X] (t)$ : $x (t) = c_{1} e^{2 t} (10) + c_{2} e^{2 t} (t 1) + e^{2 t} (t 0) .$

Übungsaufgaben

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