202510300810 - Beispiel für Lösung von x``(t)-x(t)=t 2

Beispiel

Gesucht sei eine Lösung $x:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ des Problems

$$x^{\prime \prime }(t)-x(t)=t\text{fu¨r alle }t\in \mathbb{R}\text{und}\{\begin{array}{l}x(0)=x_0\\ x^{\prime }(0)=v\end{array}$$

wobei $x_0,v\in \mathbb{R}$ gegeben sind. Wir setzen $y(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ x^{\prime }(t)\end{array}\right)$. Dann ist

$$y^{\prime }(t)=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)\\ x^{\prime \prime }(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)\\ x(t)+t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}_2(t)\\ y_1(t)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ t\end{array}\right)$$

Also lässt sich das Differentialgleichungssystem (1.83) umschreiben als $y^{\prime }(t)=Ay(t)+b(t)$ mit $y(0)=z$, wobei

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),b(t)=\left(\begin{array}{c}0\\ t\end{array}\right),z=\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ v\end{array}\right).$$

Wir wenden nun die Lösungsformel (1.81) an.

$$e^{tA}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{t^k{A}^k}{k!}=\sum _{l=0}^{\infty }\frac{t^{2l}{A}^{2l}}{(2l)!}+\sum _{l=0}^{\infty }\frac{t^{2l+1}{A}^{2l+1}}{(2l+1)!}=\cosh (t)I+\sinh (t)A=\left(\begin{array}{cc}\cosh t& \sinh t\\ \sinh t& \cosh t\end{array}\right).$$

Damit ist die Lösung

$$\begin{array}{rl}y(t)& =e^{At}\left(z+{\int }_0^t{e}^{-\tau A}b(\tau )d\tau \right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cosh (t)& \sinh (t)\\ \sinh (t)& \cosh (t)\end{array}\right)\left(\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ v\end{array}\right)+{\int }_0^t\left(\begin{array}{cc}\cosh (\tau )& -\sinh (\tau )\\ -\sinh (\tau )& \cosh (\tau )\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ \tau \end{array}\right)d\tau \right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cosh (t)& \sinh (t)\\ \sinh (t)& \cosh (t)\end{array}\right)\left(\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ v\end{array}\right)+{\int }_0^t\left(\begin{array}{c}-\tau \sinh (\tau )\\ \tau \cosh (\tau )\end{array}\right)d\tau \right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cosh (t)& \sinh (t)\\ \sinh (t)& \cosh (t)\end{array}\right)\left(\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ v\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-t\cosh (t)+\sinh (t)\\ 1-\cosh (t)+t\sinh (t)\end{array}\right)\right).\end{array}$$

Ausmultiplizieren und Ablesen des ersten Eintrages $y_1(t)=x(t)$ gibt die Lösung

$x(t)=x_0\cosh (t)+(v_0+1)\sinh (t)-t$,

wobei wir benutzt haben, dass $\cosh (t{)}^2-\sinh (t{)}^2=1$. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. page=65 ↩