202510310910 - Äquivalenz von komplexer Differenzierbarkeit und Cauchy-Riemann-Gleichungen

Satz

Sei $U\subset \mathbb{C}$ offen und $f:U\to \mathbb{C}$. Wir schreiben den Realteil von $f$ als $u$ und den Imaginärteil als $v$, und fassen diese als Funktionen von $\text{Re}(z)$ bzw. $\text{Im}(z)$ auf, d.h. wir schreiben

$$\begin{array}{rl}f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\text{wobei}& u(x,y)=\text{Re}f(x+iy)\\ & v(x,y)=\text{Im}f(x+iy).\end{array}$$

Dann sind äquivalent: (i) $f$ ist bei $z_0=x_0+i{y}_0\in U$ komplex differenzierbar. ¹ (ii) Die Funktion $(x,y)\mapsto \left(\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\end{array}\right)$ ist bei $\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$ (reell) differenzierbar und $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\text{sowie}\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.\text{(Cauchy-Riemann-Gleichungen) (2.2)}$ In diesem Fall ist die Ableitung gegeben durch $f^{\prime }(x+iy)=u_x(x,y)-i{u}_y(x,y)=v_y(x,y)+i{v}_x(x,y).(2.3)$

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Beispiele

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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