202510311110 - Beweis zu Äquivalenz von komplexer Differenzierbarkeit und Cauchy-Riemann-Gleichungen

Beweis

Sei $f$ komplex differenzierbar in $z_0=x_0+i{y}_0$ und sei $f^{\prime }(z_0)=a+ib$ die Ableitung. Sei $\tilde{f}(x,y):=\left(\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\end{array}\right)$. Wir behaupten, dass $\tilde{f}$ im Punkt $\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)$ differenzierbar ist mit Ableitung $d\tilde{f}(x_0,y_0)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right).$ Dies ist äquivalent zur Aussage ${\Vert \tilde{f}(x_0+s,y_0+t)-\tilde{f}(x_0,y_0)-\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)\Vert }_2=o\left({\Vert \left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)\Vert }_2\right)(2.4)$ für $\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$. Zum Beweis von (2.4) setzen wir $h=s+it$. Dann ist ${\Vert \tilde{f}(x_0+s,y_0+t)-\tilde{f}(x_0,y_0)-\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)\Vert }_2=|f(z_0+h)-f(z_0)-f^{\prime }(z_0)h|$ weil $f^{\prime }(z_0)h=(a+ib)(s+it)=(as-bt)+i(at+bs)$ also $\left(\begin{array}{c}\text{Re}{f}^{\prime }(z_0)h\\ \text{Im}{f}^{\prime }(z_0)h\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}as-bt\\ at+bs\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right).$ Ausserdem ist nach Definition der komplexen Ableitung $|f(z_0+h)-f(z_0)-f^{\prime }(z_0)h|=o(|h|)\text{und}|h|={\Vert \left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)\Vert }_2$ also folgt (2.4). Sei jetzt umgekehrt $\tilde{f}(x,y):=\left(\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\end{array}\right)$ differenzierbar, und es gelten die CR-Gleichungen (2.2). Setzen wir dann $g(x+iy):=u_x(x,y)-i{u}_y(x,y)=v_y(x,y)+i{v}_x(x,y)$ ¹ und $h=s+it$, dann gilt für $z=x+iy$ $g(z)h=(u_{x}s+u_{y}t)+i(v_{x}s+v_{y}t)$ was dem Ausdruck $\left(\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)$ entspricht. Damit erhalten wir ähnlich wie oben aus der (reellen) Differenzierbarkeit ${\Vert \tilde{f}(x+s,y+t)-\tilde{f}(x,y)-d\tilde{f}(x,y)\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)\Vert }_2=o\left({\Vert \left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)\Vert }_2\right)$ von $\tilde{f}$ die Aussage $|f(z+h)-f(z)-g(z)h|=o(|h|).$ Damit ist gezeigt, dass $f$ komplex differenzierbar ist mit Ableitung $f^{\prime }(z)=g(z)$. ²

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. [[tum_KoenigUlbrich-Analysis3EI-WS2526-skript.pdf#page=70 ↩

2. page=71 ↩