202510311210 - Beispiel zu Differenzierbarkeit von z hoch 2

Beispiel

Sei $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ die Funktion $f(z)=z^2$. Dann gilt $f(x+iy)=x^2-y^2+2ixy,$ also

$$\begin{array}{rl}u(x,y)& =x^2-y^2\\ v(x,y)& =2xy.\end{array}$$

Die Ableitung der Funktion $\tilde{f}(x,y)=\left(\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\end{array}\right)$ ist damit $d\tilde{f}(x,y)=\left(\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2x& -2y\\ 2y& 2x\end{array}\right).$ Damit ist leicht zu prüfen, dass die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sind (für alle $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$), also ist die Funktion $f$ ganz. ¹

Übungsaufgaben

LIST FROM [[]]
WHERE contains(mytags, [[aufgaben]])
SORT file.name ASC

Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. [[tum_KoenigUlbrich-Analysis3EI-WS2526-skript.pdf#page=71 ↩