202510311510 - Beweis zu Konstanz bei verschwindender Ableitung

Beweis

Die Aussage $f^{\prime }=0$ (d.h. (2.5)) ist äquivalent zu (siehe (2.3)) $\left(\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right)=0$ für die reellwertigen Funktionen $u$ und $v$ auf $U$, d.h. auf der Menge der Paare $(x,y)$ mit $x+iy\in U$. Damit folgt, dass diese Funktionen konstant sind, also existieren $c_1,c_2\in \mathbb{R}$ so dass

$$\begin{array}{rl}u(x,y)& =c_1\\ v(x,y)& =c_2\end{array}$$

für alle $x+iy\in U$. Insbesondere folgt $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=c_1+i{c}_2\text{fu¨r alle }z=x+iy\in U.$ ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

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Quellen

Footnotes

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