202510311910 - Konvergenzeigenschaften von Potenzreihen

Satz

Sei $P(z)$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R\in [0,\infty ]$. Dann gilt: (i) $P(z)$ konvergiert (sogar absolut) für $z\in B_R(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\mid |z-z_0|<R\}$. (ii) $P(z)$ divergiert für $z\notin \overline{B_R(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\mid |z-z_0|\le R\}$. (iii) Für jedes $0\le r<R$ ist die Konvergenz auf $\overline{B_r(z_0)}$ gleichmässig. Insbesondere ist $P(z)$ eine stetige Funktion auf $B_R(z_0)$. (iv) Es gilt $R={\lim }_{k\to \infty }\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|$ falls dies (im eigentlichen oder uneigentlichen Sinne) existiert. ¹

Beispiele

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. [[tum_KoenigUlbrich-Analysis3EI-WS2526-skript.pdf#page=73 ↩