202511010011 - Beweis für Holomorphie, Ableitung und Stammfunktion von Potenzreihen

Beweis

Wir zeigen zuerst, dass $P(z)$ und $Q(z)$ denselben Konvergenzradius $R_P=R_Q$ besitzen. Sei $\tilde{Q}(z):={\sum }_{k=1}^{\infty }k{a}_k(z-z_0{)}^k$ und $R_{\tilde{Q}}$ der Konvergenzradius dieser Potenzreihe. Wegen $Q(z)=(z-z_0{)}^{-1}\tilde{Q}(z)$ für $z\ne z_0$ und $Q(z_0)=a_1$ gilt $R_Q=R_{\tilde{Q}}$. Wir berechnen weiter $R_{\tilde{Q}}^{-1}={\mathrm{limsup}}_{k\to \infty }|k{a}_k{|}^{1/k}={\mathrm{limsup}}_{k\to \infty }{k}^{1/k}|a_k{|}^{1/k}={\lim }_{k\to \infty }{k}^{1/k}\cdot {\mathrm{limsup}}_{k\to \infty }|a_k{|}^{1/k}=R_P^{-1}.$ Wegen gleichmäßiger Konvergenz von $P(z)$ und $Q(z)$ auf $B_R(z_0)$ kann gliedweise differenziert werden; damit folgt (i). Behauptung (ii) folgt dann durch Vertauschen von $(P,Q)$ mit $(T,P)$. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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