202511010111 - Beispiel für Ableitungen der geometrischen Reihe

Beispiel

Wir betrachten nochmals die geometrische Reihe aus Beispiel 2.3.3. Ihre Ableitung ist $P^{\prime }(z)={\sum }_{k=1}^{\infty }k{z}^{k-1}.$ Andererseits ist die Ableitung von $f(z)=\frac{1}{1-z}$ gleich $f^{\prime }(z)=\frac{1}{(1-z{)}^2}$. Damit erhalten wir die Potenzreihendarstellung $\frac{1}{(1-z{)}^2}={\sum }_{k=1}^{\infty }k{z}^{k-1}(|z|<1).(2.7)$ Unabhängige Nachprüfung von (2.7). Es gilt (die verwendete Formel für das Produkt absolut konvergenter Reihen heißt Cauchy-Produktformel): $\frac{1}{(1-z{)}^2}=\left({\sum }_{l=0}^{\infty }{z}^l\right)\left({\sum }_{m=0}^{\infty }{z}^m\right)={\sum }_{l,m\ge 0}{z}^{l+m}={\sum }_{k=0}^{\infty }{\sum }_{l,m\ge 0,l+m=k}{z}^k={\sum }_{k=0}^{\infty }{\sum }_{l=0}^k{z}^k={\sum }_{k=0}^{\infty }(k+1)z^k={\sum }_{k=1}^{\infty }k{z}^{k-1}.$ ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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