202511011111 - Kurve

Definition

Eine Kurve (oder ein Weg) ist eine stetige Abbildung $\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}$ wobei $a,b\in \mathbb{R}$ mit $a\le b$. Hierbei heißen $\gamma (a)$ und $\gamma (b)$ Anfangs- bzw. Endpunkt von $\gamma$. Eine Kurve $\gamma$ heißt (i) geschlossen, falls $\gamma (a)=\gamma (b)$. (ii) einfach geschlossen, falls $\gamma (s)=\gamma (t)$ genau dann, wenn $s=t$ oder $\{s,t\}=\{a,b\}$. (iii) stückweise $C^1$ (d.h. stückweise stetig differenzierbar) falls $a=:t_0<\cdots <t_{m+1}:=b$ existieren, so dass die Einschränkung ${\gamma }_j=\gamma {|}_{[t_j,t_{j+1}]}$ für jedes $0\le j\le m$ eine $C^1$ (also stetig differenzierbare) Funktion ist. Das Bild $\text{im}(\gamma )\subset \mathbb{C}$ der Kurve ist die Menge $\text{im}(\gamma ):=\{\gamma (t)\mid t\in [a,b]\}.$ ¹

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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