202511011811 - Allgemeine Eigenschaften des Kurvenintegrals 2

Lemma

Seien $\gamma :[a,b]\to \mathbb{R}$ ein Weg und $f,g:\text{im}(\gamma )\to \mathbb{C}$ stetig. Dann gilt: (i) Linearität: Für alle $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$ ist ${\int }_{\gamma }(\alpha f(z)+\beta g(z))dz=\alpha {\int }_{\gamma }f(z)dz+\beta {\int }_{\gamma }g(z)dz$ d.h. das Kurvenintegral ist linear. (ii) Abhängigkeit von der Orientierung: ist ${\gamma }^{\ast }(t):=\gamma (b-(t-a))$ die Kurve $\gamma$ umgekehrt durchlaufen, dann gilt ${\int }_{{\gamma }^{\ast }}f(z)dz=-{\int }_{\gamma }f(z)dz$ (iii) Standardabschätzung: Es gilt $\left|{\int }_{\gamma }f(z)dz\right|\le {\max }_{a\le t\le b}|f(\gamma (t))|\cdot L(\gamma )$ Hier bezeichnet $L(\gamma )={\int }_a^b|{\gamma }^{\prime }(t)|dt(2.8)$ die (Bogen)Länge von $\gamma$. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

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Quellen

Footnotes

1. page=78 ↩