202511020111 - Beziehung zwischen komplexen und reellen Kurvenintegralen

Lemma

Die Beziehung zwischen dem komplexen Kurvenintegral und dem reellen Kurvenintegralen kann wie folgt ausgedrückt werden: Sei $\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}$ eine Kurve, die stückweise $C^1$ ist. Sei $f:\text{im}(\gamma )\to \mathbb{C}$. Wir definieren die Kurve $\tilde{\gamma }:[a,b]\to {\mathbb{R}}^2$ durch $\tilde{\gamma }(t)=\left(\begin{array}{c}\text{Re}(\gamma (t))\\ \text{Im}(\gamma (t))\end{array}\right)$ und schreiben $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$. Dann gilt $\text{Re}{\int }_{\gamma }f(z)dz={\int }_{\tilde{\gamma }}\left(\begin{array}{c}u\\ -v\end{array}\right)\cdot d\vec{x}$ $\text{Im}{\int }_{\gamma }f(z)dz={\int }_{\tilde{\gamma }}\left(\begin{array}{c}v\\ u\end{array}\right)\cdot d\vec{x}.$ ¹ Definieren wir also das Vektorfeld $w(x,y)=\left(\begin{array}{c}u(x,y)\\ -v(x,y)\end{array}\right)$, dann ist der Realteil des Kurvenintegrals gleich der Zirkulation von $w$ entlang $\tilde{\gamma }$, und der Imaginärteil des Kurvenintegrals gleich dem Fluss von $w$ senkrecht zu $\tilde{\gamma }$. ²

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. page=79 ↩

2. page=80 ↩