202511020411 - Identitätssatz

Definition

Wir haben bereits (etwa in Beispiel 2.8.3) die Aussage benutzt, dass zwei Potenzreihendarstellungen der gleichen Funktion (mit gleichem Entwicklungspunkt) identische Koeffizienten haben müssen. Mit anderen Worten ist die Potenzreihendarstellung eindeutig: Hat eine Funktion $f$ eine Potenzreihendarstellung $f(z)={\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k(z-z_0{)}^k$ auf $B_r(z_0)$, ist diese eindeutig und $a_k=\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}$ nach der Taylor-Reihenentwicklung. Eine ähnliche (viel allgemeinere) Aussage gilt für analytische Funktionen: ¹

Satz

Sei $U\subset \mathbb{C}$ ein Gebiet und seien $f,g:U\to \mathbb{C}$ analytisch auf $U$. Dann sind äquivalent: (i) $f(z)=g(z)$ für alle $z\in U$. (ii) Es gibt $z_0\in U$ mit $f^{(k)}(z_0)=g^{(k)}(z_0)$ für alle $k\in {\mathbb{N}}_0$. (iii) Es gibt $z_0\in U$ und eine Folge $\{z_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subset U\setminus \{z_0\}$ mit $z_n\to z_0$ für $n\to \infty$, so dass $f(z_n)=g(z_n)$ für alle $n\in \mathbb{N}$. ²

Unterthemen

LIST
WHERE contains(mytags, [[]])
SORT file.name ASC

Übungsaufgaben

LIST FROM [[]]
WHERE contains(mytags, [[aufgaben]])
SORT file.name ASC

Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. page=88 ↩

2. page=89 ↩